Dá se odhadnout hmotnost saharského prachu nad Českem?

Dobrá otázka. Dá. Tato otázka je jednou ze třídy takzvaných Fermiho úloh.

Řešíme zdánlivě neřešitelné

Fermiho úlohy (otázky) jsou blízké realitě všedního života a na první pohled se zdá, že jsou bez zadání dalších potřebných informací neřešitelné. Při řešení nejde o to hledané výsledky přesně vyčíslit, ale jen řádově správně odhadnout s pomocí jednoduchých fyzikálních vztahů, zkušeností z každodenního života a trochy zdravého rozumu. Výsledky se dají v mnoha případech snadno prověřit a většinou odhad překvapivě dobře souhlasí se skutečnou hodnotou.

V angličtině na toto téma existuje řada úspěšných knih [1–3], v češtině je bohužel literatura velmi chudá, kromě několika webových odkazů [4, 5] není v nabídce prakticky nic.

Hádáme odhad

K řešení Fermiho úloh se používá odhad založený na nám známých nebo snadno zjistitelných číslech. V angličtině se pro tento postup používá název „guesstimation“, tedy spojení slov „guess“ (uhodnout) a „estimation“ (odhadnout). A pak už jen trojčlenka a trocha základní aritmetiky.

V tomto případě budeme potřebovat znát dvě čísla:

1) objem vzduchu nad Českou republikou (ČR), který nese saharský prach, a

2) koncentraci prachu v něm.

Objem vzduchu spočteme snadno – vynásobením plochy ČR výškou vzduchového sloupce.

Rozloha České republiky je 78 866 km² (někteří si pamatují ze školy, jiným pomůže Wikipedie, viz sekce Další čtení), tloušťka vrstvy vzduchu s pískem, kterou použijeme ve výpočtu, může být kolem 5 km. Proč? Výška troposféry – přízemní vrstvy atmosféry, ve které se vyskytují mraky – je asi 10 km. Hustota vzduchu v troposféře s výškou výrazně klesá, stejně klesá i koncentrace prachu a vodní páry. Pro jednoduchost tedy vezmeme polovinu z 10 km.

Objem vzduchu s pískem je tedy (odhadujeme, rozlohu ČR tedy můžeme zaokrouhlit na 80 000 km², ať se nám to lépe počítá)

V = 80 000 × 5 = 400 000 km³

Odhad koncentrace prachu

Složitější bude odhadnout koncentraci prachu. Můžeme využít údaj Českého hydrometeorologického ústavu (ČHMÚ) o koncentraci písku z 24. února 2021, kdy přes naše území přecházelo výrazné množství saharského písku – maximální koncentrace písku při zemi byly kolem 90 µg/m³[6]. Můžeme také využít koncentraci polétavého prachu při vyhlášené smogové situaci, tedy 100 µg/m³ [7]. Tak se nám bude koncentrace snadněji počítat:

c (kg/km³) = 100 (µg/m³) × 1 000 000 000 (m³) / 1 000 000 000 (µg/kg) = 100 kg/km³

Zde jsme jen převedli koncentraci na vhodnější jednotku: hmotnost prachu v kilogramech na jeden kilometr krychlový.

A teď už jen spočítáme celkovou hmotnost prachu ve vzduchu nad Českou republikou jako objem krát koncentrace, tedy

m = 400 000 × 100 = 40 000 000 kg = 40 000 t,

což představuje asi čtyři tisíce plně naložených nákladních automobilů o nosnosti 10 t.

Výsledný odhad

Při typickém výskytu tak lze odhadnout množství saharského písku nad ČR někde mezi 10 tisíci a 100 tisíci tunami.

Pro srovnání, hmotnost hráze vodní nádrže Lipno (14 000 m³ betonu) je asi 50 tisíc tun.

Pozn. Univerzita Palackého organizuje každoročně soutěž v řešení podobných úloh, podrobnosti naleznete zde https://exfyz.upol.cz/didaktika/fermi/index.html.

Pro Zeptej se vědce odpovídal Michal

Zdroje:

[1] Guesstimation: Solving the World’s Problems on the Back of a Cocktail Napkin, Lawrence Weinstein and John Adam, Princeton University Press, 2008, https://www.amazon.de/-/en/Guesstimation-Solving-Worlds-Problems-Cocktail/dp/0691129495/

[2] How many licks? or, how to estimate damn near anything, Aaron Santos, Running Press, 2009, https://openlibrary.org/books/OL25114792M/How_many_licks

[3] Quantify! A Crash Course in Smart Thinking, Göran Grimvall, Johns Hopkins University Press, 2011
https://www.amazon.de/-/en/Goran-Grimvall/dp/0801897173/

[4] http://fyzweb.cz/materialy/vlachovice/2011/prispevky/005-holubova-prispevek.pdf nebo https://adoc.pub/fermiho-ulohy-jak-uim-fyziku-vlachovice-fermiho-ulohy.html

[5] https://prase.cz/library/FermihoProblemyJK/FermihoProblemyJK.pdf

[6] https://www.enviblog.cz/blog/2021/02/24/saharsky-pisek-opet-nad-uzemim-ceske-republiky

[7] Zákon č. 42/2025 Sb., §10 a Příloha 6, https://www.e-sbirka.cz/sb/2025/42