Děkujeme za pěkný dotaz, který se týká jedné z rovnic používaných v teorii chaosu [1]. Touto rovnicí je tzv. logistická mapa, která je dána poměrně jednoduchou rovnicí:

x_n+1 = rx_n(1 – x_n),

kde hodnota x představuje normalizovanou populaci. Tu si můžeme představit například jako podíl lidí s určitou vlastností vůči všem lidem. Hodnota normalizované populace tak může být libovolné číslo mezi nulou a jedničkou. Normalizaci zavádíme typicky proto, že se s normalizovanými daty lépe pracuje. V rovnici logistické mapy hodnota x_n určuje populaci v n-té generaci a hodnota (1 – x_n) odpovídá zbytku populace, která určitou sledovanou vlastnost nemá. Konstanta r určuje rychlost růstu.

Jinými slovy nám rovnice říká, jak se při jisté rychlosti růstu r změní populace v příští generaci (n+1), známe-li populaci aktuální generace (n). Jelikož rovnice pracuje s normalizovanou populací, musí hodnota x_n+1 vyjít v mezích mezi nulou a jedničkou. To ale omezuje přípustné hodnoty konstanty r. Ve vámi zmíněném článku je správně uvedeno, že konstanta r (ve článku α) může nabývat hodnot mezi nulou a čtyřkou. Ale proč je horním limitem zrovna čtyřka?

Začněme s pravou stranou rovnice, která představuje kvadratickou rovnici pro hodnotu x_n. Když hledáme maximum nějaké funkce, vlastně se ptáme, kdy je její derivace rovna nule. S pomocí diferenciálního počtu zjistíme, že tato derivace je rovna r(1 – 2x_n). Položme tedy

0 = r(1 – 2x_n)

a zjistíme, že výše uvedená funkce je v maximu, když x_n = ½. Po dosazení této hodnoty do logistické mapy dostaneme

x_n+1 = r/4.

Abychom určili přípustné hodnoty r, musíme si uvědomit, že x_n+1 má maximální hodnotu rovnou jedné (představuje normalizovanou populaci). Dostaneme

r ≤ 4.

Jinými slovy jsme dostali horní mez pro konstantu růstu r. Podobně můžeme postupovat pro minimální hodnotu x_n+1, která se rovná nule, a odvodit, že spodní mez je

 r ≥ 0.

Když si to shrneme: Ukázali jsme, že konstanta růstu r, která figuruje v rovnici logistické mapy, je omezena na hodnoty mezi nulou a čtyřkou. To plyne ze skutečnosti, že normalizované populace mohou nabývat pouze hodnot mezi nulou a jedničkou.

Pro Zeptej se vědce odpovídal Vítek

Zdroje:

[1] Ausloos, M., & Dirickx, M. (Eds.). (2005). The logistic map and the route to chaos: From the beginnings to modern applications (2006th ed.). Springer.