Periodický děj poznáme tak, že se jistá vlastnost po určitém časovém intervalu (periodě) zopakuje. Touto vlastností může například být fáze Měsíce, pozice kyvadla nebo výška vlny na hladině. Když chceme popsat periodický děj matematicky, uchýlíme se k periodickým funkcím, pro které platí to samé, tj. po určité periodě se opakuje ta samá funkční hodnota. Když chceme vědět, kde přesně se v rámci jedné periody nacházíme, tak se ptáme na fázi dané periodické funkce nebo děje. To si hezky představíme u měsíčního cyklu, kde se dokonce přímo o fázi hovoří. Tak například když Měsíc couvá, tak se nachází ve fázi, která následuje po úplňku, a tato fáze nastane přibližně každých 29 dní.
Když jsme si ujasnili základní pojmy, tak se můžeme pustit do vámi zmíněných veličin. Opět si pomůžeme příkladem s Měsícem, který se otáčí okolo Země. Jeden oběh Země mu zabere zhruba 27,3 dne (podrobněji v Dalším čtení). Vezmeme-li střední poloměr oběžné dráhy 385 000 km, vyjde nám, že průměrná rychlost pohybu Měsíce při jeho oběhu je nějakých 1,03 km/s. To jsme si spočítali tzv. lineární rychlost, tedy podíl dráhy a času. Podobně můžeme zavést i úhlovou rychlost jako podíl středového úhlu, který opisuje rotující objekt při otáčení kolem dané rotační osy, a času [1]. To si můžeme představit na příkladu dítěte, které sedí na kolotoči. Dítě se otáčí kolem středu kolotoče, který představuje rotační osu. Dítě má tím větší úhlovou rychlost, čím vícekrát se s kolotočem otočí kolem u kolotoče stojící maminky za určitý čas. Podobné je to s Měsícem. Ten při svém oběhu/rotaci okolo Země opíše středový úhel rovný 360°, tedy 2π radiánů, za dobu 27,3 dne. Výpočtem dostaneme pro jeho úhlovou rychlost hodnotu 2,7×10−6 rad/s.
Ve fyzice je rychlost vektorovou veličinou, tj. má směr a velikost. Velikost úhlové rychlosti Měsíce jsme si spočítali výše a zjistili, že její rozměr je rad/s. Směr úhlové rychlosti je dán smyslem otáčení okolo dané rotační osy, tj. buď ve směru, nebo proti směru hodinových ručiček.
A právě ručičkové hodiny nám poslouží k tomu, abychom se podívali na další vlastnost úhlové rychlosti. Řekněme, že chceme spočítat úhlovou rychlost hodinové ručičky u náramkových hodinek a na ohromném ciferníku slavného londýnského Big Benu. Opět vyjdeme z definice úhlové rychlosti jako podílu středového úhlu a času. Jak hravě zjistíme, úhlová rychlost je u obou hodin stejná! To je překvapivý závěr, jelikož lineární rychlost špiček obou ručiček bude docela jiná, o hodně menší u náramkových hodinek než u Big Benu. Co víc, všechny hodinové ručičky všech hodin na světě mají stejnou úhlovou rychlost, protože za 12 hodin všechny opíšou středový úhel 2π.
Ještě naposledy se vrátíme k příkladu s Měsícem. Měsíc se z úplňku do úplňku vrátí za 29,5 dne (podrobněji v Dalším čtení). Tuto dobu označujeme jako periodu, tj. čas, za který se zopakuje stejná fáze Měsíce. Převrácená hodnota periody definuje frekvenci, tj. četnost opakování. Pro Měsíc dostaneme hodnotu 3,9×10−7 Hz (počet opakování daného děje za jednu sekundu). Takto malá hodnota nám říká, že úplňky se opakují jen velmi málo, jednou za měsíc, tedy s malou frekvencí.
Rychlost změny fáze můžeme spočítat, podobně jako v případě úhlové rychlosti, jako podíl fáze a času. Tento podíl ve fyzice označujeme jako úhlovou frekvenci [1], jejíž jednotkou je reciproká sekunda, tj. s−1. Jak již název napovídá, úhlová frekvence bude mít něco společného s frekvencí, která říká, kolikrát se v jedné sekundě opakuje daný periodický děj, jak jsme uvedli výše. Proto jsme ve fyzice schopni ze znalosti frekvence spočítat úhlovou frekvenci tak, že ji vynásobíme plným úhlem, tj. 2π.
Abychom si názorně ukázali, že úhlová frekvence popisuje, jak rychle se daný periodický děj odehrává, vezmeme si za příklad ideální kyvadlo. Řekněme, že kyvadlo má délku závěsu jeden metr. Dále experimentálně změříme, že za dobu 1,98 sekundy se vrátí zpět do původní polohy, ze které jsme ho vypustili. Pohyb ideálního kyvadla můžeme popsat periodickou funkcí a platí, že navrácení se zpět do výchozí polohy odpovídá změně fáze 2π, což platí pro všechny periodické pohyby. Z těchto údajů můžeme lehce vypočítat úhlovou frekvenci ideálního kyvadla jako 2π/1,98 = 3,17 s−1. Budeme-li pracovat s kyvadlem o délce 2 metrů, dostaneme pro úhlovou frekvenci hodnotu 2,24 s−1 neboli delší kyvadlo mění svou fázi pomaleji.
Když si to shrneme, tak rozdíl mezi úhlovou rychlostí a úhlovou frekvencí je ten, že úhlová rychlost popisuje pouze rotační pohyb, kdežto úhlová frekvence popisuje obecně periodické děje, které nemusí mít vůbec nic společného s rotací, jako například kmity kyvadla nebo pohyb dětské houpačky.
Zdroje:
[1] https://doi.org/10.1039/9781847557889
Další čtení:
Měsíc oběhne Zemi za 27,3 dne, což se označuje jako siderická oběžná doba, která je měřena jako pozice Měsíce vůči hvězdnému pozadí. Siderická doba se ovšem nerovná době mezi dvěma úplňky, která je přibližně 29,5 dne a označujeme ji jako synodickou. Tento rozdíl je dán oběhem Země kolem Slunce. Během 27,3 dní (siderická doba), během kterých Měsíc oběhne Zemi, urazí Země jistou vzdálenost na své orbitě kolem Slunce. Jelikož se Země posunula, musí Měsíc urazit o něco delší dráhu, aby byl opět v úplňku (synodická doba). Proto je doba mezi stejnými fázemi Měsíce delší, než doba jednoho oběhu kolem Země.
Pro Zeptej se vědce odpovídal Vítek
