Za jak dlouho spadne kyj ve filmu Mrazík zpět na zem?

Ďakujem za krásnu otázku, ktorá každý rok určite trápi mnohých divákov. Ivan bohatier bol nielen pekný, ale vskutku aj poriadne mocný chlap. Kyje zbojníkov Ivan vyhodil do neba na počiatku svojej cesty a na ich hlavy sa vrátili počas zimy. Ivan teda potreboval šesť mesiacov, aby sa poučil. Nám však bude stačiť pár minút, aby sme sa dozvedeli odpoveď a naučili sa niečo o pohybe, riešení fyzikálnych problémov a zjednodušeniach.

Naše prvé zjednodušenie bude spočívať v tom, že sa pokúsime zostať čo najviac pri Zemi. Z úvah vypustíme Slnko, ostatné planéty a orbitálnu mechaniku. Zároveň zanedbáme skutočnosť, že Zem je guľatá a otáča sa okolo svojej osi. Hoci toto zjednodušenie nie je ideálne na presné určenie dráhy letu, bez neho by sme riešenie hľadali až do budúcich Vianoc.

Následne potrebujeme odhadnúť, koľko taký kyj (tzv. budzogáň) vlastne váži. Prekvapilo ma, že bežný jednoručný kyj, ktorý sa radí medzi chladné zbrane, váži do 1 kg (do 1 kg váži aj baseballová pálka). Kyje v Mrázikovi boli však poriadne mohutné, tak predpokladajme, že jeden váži 3 kg. Hmotnosť bude totiž v našich úvahách „prekvapivo“ podstatná.

Prečo prekvapivo?

Pohyb telesa v gravitačnom poli Zeme je závislý od jeho rýchlosti a gravitačného zrýchlenia, ktoré ho ťahá naspäť na zemský povrch. Zo školy vieme, že čas, za ktorý dopadne teleso zhodené na zem, je rovnaký, bez ohľadu na to, aká je jeho hmotnosť. „Pokiaľ zanedbáme trenie,“ poznamená učiteľ. Tento jav demonštroval už v 16. storočí Galileo Galilei, keď zo šikmej veže v Pise zhadzoval drevené a železné gule. V tomto prípade sa ošemetná poznámka o zanedbaní trenia dá ľahko použiť, nakoľko gule mali pravdepodobne rovnaký tvar a veľkosť. Princíp funguje aj pre objekty tvarom odlišné, ale iba ak odstránime trenie. Kto má záujem, odporúčam krátke demonštračné video z dielne BBC [1], prípadne demonštráciu priamo z povrchu Mesiaca [2].

Prosté riešenie

Pozrime sa na úlohu s kyjom ako prostý vrh nahor fyzikou základnej školy. Stačí nám gravitačné zrýchlenie (g = 9,81 m s⁻² ), rovnica z učebnice a kalkulačka. Šesť mesiacov od pravoslávnych vianoc (6. januára) je asi 15 811 200 sekúnd. Počiatočná rýchlosť musí byť rovná polovici tohto času vynásobeného gravitačnou konštantou (gt/2) a BUM! Rýchlosť telesa musí byť prostých 77,5 miliónov metrov za sekundu, čo je asi 26 % rýchlosti svetla. „BUM“ je doslovný, pretože pri takejto rýchlosti kyjak vletí do oblasti Oortovho mraku za obežnú dráhu Pluta a nakoniec dopadne na Zem s energiou asi 9000 hirošimských atómových bômb. Takéto riešenie nie je veľmi reálne. Pre hádzanie gulí z balkóna by postačovalo, avšak Ivanovi zjavne potrebuje niečo presnejšie.

Lepšie riešenie

V skutočnosti gravitačné zrýchlenie nie je stále rovnaké, ale s výškou klesá. Čím sme ďalej od Zeme, tým menej Zem kyjak priťahuje. Tu si už, pre Ivanovu smolu, jednoduchou rovnicou nepomôžeme. Rovnice pohybu, ktoré nás v škole učia, sú totiž zjednodušenou verziou tzv. diferenciálnych rovníc. Zjednodušenie znamená, že sa niektoré parametre, ako napr. gravitačné zrýchlenie, považujú za nemenné. To my však nechceme, a preto pre výpočet použijeme diferenciálne rovnice. Drobným problémom je, že diferenciálne rovnice sa nie vždy dajú riešiť analyticky, tj. nájsť konečný vzorček, do ktorého dosadíme čísla a niečo nám vyjde.

Ivan, podobne ako autor tohto príspevku, však môže použiť malú kremíkovú doštičku, ktorá takúto rovnicu vyrieši za neho, tzv. numericky. Pre tento účel som si v programovacom jazyku Python (tzv. hadí jazyk) napísal malý model (ak bohovia sociálnych sietí dovolia, môžete si ho stiahnuť v odkaze pod článkom, netvrdím však, že sa v ňom vyznáte).

Po troche snaženia som zistil, že ak Ivan vyhodí kyjak rýchlosťou 11,19369 km/s (asi 40 tisíc km/h), kyjak sa vráti na zem v približne požadovanom čase. Približne ale nie je dostačujúce, lebo kyjak v simulácii minie zbojníkov asi o 6 hodín. Pri svojom lete kyjak doletí 7× ďalej, ako je vzdialenosť Zeme od Mesiaca. Je takéto riešenie reálnejšie?

Nuž, prvý problém je, že riešenie je veľmi citlivé na malé zmeny počiatočnej rýchlosti. Ak počiatočnú rýchlosť znížime o 0,1 m/s, kyjak dopadne o 3,5 dňa skôr! Druhý problém je, že nájdená počiatočná rýchlosť je vyššia ako hodnota 11,178 km/s, čo je tzv. druhá kozmická rýchlosť. Pri nej sa teleso trvalo vzďaľuje od Zeme a už sa nikdy nevráti. V simulácii sa vrátiť dokáže, lebo numerické riešenie má isté nepresnosti. Ak použijem hodnotu 11,2 km/s, už sa nevráti ani v simulácii.

Je ale možné len tak hodiť kyjak a udeliť mu rýchlosť 11 km/s? V podstate áno. Kinetická energia takéhoto telesa bude 181,5 MJ, čo je asi toľko energie, koľko uvoľní výbuch 43 kg TNT, prípadne koľko obsahuje asi 145 väčších čokoládových tyčiniek (300 kcal na tyčinku).

Uvedomme si však, že rýchlosť 11 km/s je asi 33-násobkom rýchlosti zvuku. Sila vrhu nie je veľmi praktický parameter, ale ak vrh trvá Ivanovi 1 sekundu, musí vyvinúť silu asi 33,6 kN.

V praxi by nám však ani tých 11 km/s nestačilo.

Ešte lepšie riešenie

Nuž, tu prichádza na rad strašiak stredoškolských učiteľov, často opomínané trenie. Trenie totiž uberá telesu energiu, ktorá sa premieňa na teplo, a toto trenie rastie s druhou mocninou rýchlosti. Pre zjednodušenie som v modeli nahradil kyjak hladkou guľou, lebo koeficient trenia dreveného kyjaku nie je známy. Rovnice trenia sú v modeli veľmi zjednodušené (pre zachovanie autorovej príčetnosti), pretože pri vysokých rýchlostiach dochádza k rôznym dodatočným efektom, ktoré neboli v modeli zohľadnené (napr. vznik rázových vĺn, vplyv turbulencií atď.).

Ak hodíme kyjak spomínanou rýchlosťou 11,19369 km/s, nedostane sa veľmi ďaleko. Kyjak po 20 s dosiahne výšku 6092 m a po daľších 80 s dopadne na zem. Prečo? Lebo je príliš ľahký. Kyjak totiž potrebuje určité množstvo kinetickej energie, aby prekonal gravitáciu. Čím je hmotnosť menšia, tým rýchlejšie musíme kyjak hádzať, aby mal dosť energie. Čím rýchlejšie to hodíme, tým viac energie stratí vplyvom trenia. Aj keď som kyjak v simulácii vyhodil rýchlosťou 100 km/s, ledva prekonal troposféru (hladinu 11 km).

Je však možné trenie prekonať?

Maximálna výška, do ktorej teleso dokáže vyletieť, rastie ako odmocnina počiatočnej rýchlosti. Ak hodíme teleso 10-krát rýchlejšie, vyletí asi 2-krát vyššie, avšak spotrebuje 100-krát viac energie. Ak sa budeme naozaj snažiť, dokážeme armosféru presteliť. Mne sa to v modeli podarilo, ale kyj som musel vrhať podobne ako pri prvom riešení absurdne rýchlo, až 10 000 km/s. Pri takýchto rýchlostiach však už jednoduchý model prestáva byť vhodný nástroj na riešenie problému.

Predpokladajme, že Ivan je po obede, má naozaj dosť sily a vyhodí kyjak absurdnou rýchlosťou smerom nahor. Otázkou nebude, či kyjak preletí, ale čo z neho zostane. Vezmime si riešenie s rýchlosťou 11 km/s, pri ktorej sme kyjaku na začiatku udelili energiu 181,5 MJ. Počas prvej sekundy sa 90 % kinetickej energie vplyvom trenia rozptýli na teplo. To zodpovedá tepelnému výkonu približne 163 MW, čo je výkon stredne veľkej elektrárne. Časť tepla ohreje atmosféru, časť samotný kyjak. Môžeme predpokladať, že polovica tepla, asi 80 MW, ostane v kyjaku. To vôbec nie je málo.

Pri rýchlosti 10 000 km/s je to miliónkrát viac. V tomto prípade už tepelným výkonom prevyšujeme súčet inštalovaného energetického výkonu v ČR a SR dohromady, ktorý počas jednej sekundy „napumpujeme“ do 3-kilogramového kusu dreva [3, 4].

Ako by sa rozprávka skončila?

Ivan, naplnený energiou ako nikdy predtým, vrhol kyjak neuveriteľnou rýchlosťou smerom k oblohe. Kyjak sa najskôr vzoprel gravitácii a začal prudko stúpať, no čoskoro sa jeho triumfálna cesta premenila na katastrofu. Rázová vlna vytvorila pred kyjakom nepreniknuteľnú bariéru. Vplyvom trenia sa kyj rozžeravil do červena, následne vzplanul a v priebehu sekundy sa začal rozpadať na plynové zvyšky. Vzduch okolo neho syčal a svetelné stopy zanechávali dojem padajúcej hviezdy, až kým sa z kyjaka nestala len plazma, rozptýlená do šíreho neba. Ivan pozoroval tento úkaz s úžasom a v duchu si sľúbil, že nabudúce vyskúša niečo menej výbušné, napríklad dialóg.

Na záver len poznamenám: nehádžte kyje do neba, lebo niekomu padne na hlavu!

Pro Zeptej se vědce odpovídal Michal